如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC是边长为2的等边三角形，AA1⊥平面ABC，D，E，I分别是CC1，AB，

（1）取BA₁的中点G，连接EG，DG，
∴GE平行且等于[1/2]AA₁，
∵D是CC₁中点，
∴CD平行且等于[1/2]AA₁，
∴GE平行且等于CD，
∴四边形GDCE是平行四边形，
∴CE∥GD，
∵CE?平面A₁BD，GD?平面A₁BD，
∴CE∥平面A₁BD，
（2）∵AA₁⊥面ABC，CE?面ABC，
∴AA₁⊥CE，
又△ABC等边三角形，E是中点，
∴CE⊥AB，CE＝

3
2AB＝
3，
所以CE⊥面AA₁B，
连接EH，则∠EHC为CH与平面AA₁B所成的角，
在Rt△CEH中，tan∠EHC＝
CE
EH＝

3
EH，
所以EH最短时∠EHC最大，
此时，EH⊥A₁B，∴tan∠EHC＝
CE
EH＝

3
EH＝

15
2，
∴EH＝
2
5
5
由平几相似关系得AA₁=4；
（3）△IBD中，IB=DB=2
2，ID=4，∴S_△IBD=[1/2×2×2=2，
△ABD中，AB=4，DB=2
2]，AD=2
5，∴cos∠ABD=
16+8?20
2×4×2
2=

2
8，
∴sin∠ABD＝

62
8，
∴S_△ABD=
1
2×4×2
2×

62
8=
31，
∴二面角I-BD-A的余弦值为
2

31=
2
31
31．