已知函数f（x）=2cos 2 x+ 2 3 sinxcosx．

（1）f（x）=1+cos2x+
3 sin2x=2sin（2x+
π
6 ）+1
∵ -
π
6 ≤x≤
π
3 ∴ -
π
6 ≤2x+
π
6 ≤
5
6 π
∴ -
1
2 ≤sin(2x+
π
6 )≤1 ；
∴f（x）∈[0，3]．
即f（x）的值域为[0，3]
（2）由f（C）=2得2sin（2C+
π
6 ）+1=2，∴sin（2C+
π
6 ）=
1
2 ．
∵0＜C＜π∴
π
6 ＜2C+
π
6 ＜
13
6 π
∴ 2C+
π
6 =
5π
6 ∴C=
π
3 ∴A+B=
2π
3 ．
又∵2sinB=cos（A-C）-cos（A+C）
∴2sinB=2sinAsinC
∴ 2sin(
2π
3 -A)=
3 sinA
即
3 cosA+sinA=
3 sinA
∴ (
3 -1)sinA=
3 cosA
∴ tanA=

3

3 -1 =
3+
3
2 ．