如图，四棱锥 的底面 为一直角梯形，侧面PAD是等边三角形，其中 ， ,平面 底面 ， 是 的中点．

（1）详见解析；（2）cos CBN= ；（3）不存在点M满足题意.


试题分析：（1）证明BE∥平面PAD，只需证明AF∥BE；
（2）过C作DE的垂线，交DE的延长线于N，连接BN，证明∠CBN就是直线BC与平面BDE所成角，从而可求BC与平面BDE所成角的余弦值；
（3）假设PC上存在点M，使得AM⊥平面PBD，则AM⊥PD，可得点M与E重合．取CD中点G，连接EG，AG，则BD⊥AG，证明PD⊥平面BCD，从而PD⊥AD，这与△PAD是等边三角形矛盾．
试题解析：(1)取PD中点F，连接AF, EF

则 ,
又，
∴
∴
∴四边形ABEF是平行四边形 2分
∴AF∥BE又 平面PAD， 平面PAD
∴0 //平面4分
（2）过C作DE的垂线，交DE的延长线于N，连接BN
∵平面 底面 ，
∴ 平面1
∴ AF又AF⊥PD，
∴AF⊥平面PCD
∴BE⊥平面PCD
∴BE⊥CN，又CN⊥DE，
∴CN⊥平面BDE
∴ CBN就是直线与平面BDE所成角 7分
令AD=1，,易求得 ，
∴sin CBN=
∴cos CBN=
故与平面BDE所成角的余弦值为 9分
（3）假设PC上存在点M，使得AM⊥平面PBD 则AM⊥PD,由（2）AF⊥PD
∴PD⊥平面AFM，又PD⊥平面ABEF
故点M与E重合。 1分
取CD中点G，连接EG,AG
易证BD⊥AG，又BD⊥AE
∴BD⊥平面AEG
∴BD⊥EG
∴BD⊥PD,又PD⊥CD
∴PD⊥平面BCD
从而PD⊥AD,这与⊿PAD是等边三角形矛盾
（另解坐标法）
证明：取AD中点O，连接PO∵侧面PAD是等边三角形 ∴PO⊥AD
又∵平面 底面， ∴PO⊥平面ABCD 2分
设 ，如图建立空间坐标系，则