（2011•唐山一模）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=1，AAi=3，∠ACB=90°，D为CCi上的

解题思路：先建立空间直角坐标系，求出相关向量，利用向量垂直时数量积等于0求得示向量，
（1）设D（0，0，a）．利用向量数量积求出二面角公式得到关于a的方程，再解方程即可求得CD的长．
（2）由（Ⅰ）得出，n=（1，-2，-1）为面A₁BD的法向量，又

AA1

=（0，0，3），结合点A到平面A₁BD的距离即可求解．

（Ⅰ）分别以CA、CB、CC₁所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系C-xyz，
则A（1，0，0）、B（0，1，0）、A₁（1，0，3）．设D（0，0，a）．
m=（1，1，0）是面A₁AB的法向量，设n=（x，y，z）是平面A₁BD的法向量．


DA1=（1，0，3-a），

DB=（0，1，-a），
由

DA1•n=0，

DB•n=0，得x+（3-a）z=0，y-az=0，取x=3-a，得y=-a，z=-1，得n=（3-a，-a，-1）．（4分）
由题设，|cos＜m，n＞|=
|m•n|
|m||n|=
|3−2a|

2×
(3−a)2+a2+1=|-

3
6|=

点评：
本题考点： 点、线、面间的距离计算．

考点点评： 本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．