（2011•焦作一模）在平面直角坐标系xoy中，椭圆E：x2a2+y2b2＝1（a＞0，b＞0）经过点A（62，2），且

解题思路：（Ⅰ）根据题意可得

3 2a2 + 2 b2 ＝1 b2−a2＝1

解出即可；
（Ⅱ）不妨设A₁（0，2），A₂（0，-2）
P（x₀，4）为直线y=4上一点（x₀≠0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
直线PA₁方程为y＝

2

x0

x+2，直线PA₂方程为y＝

6

x0

x−2，分别与椭圆联立即可得到点M，N的坐标．
由于椭圆关于y轴对称，当动点P在直线y=4上运动时，直线MN通过的定点必在y轴上，
当x₀=1时，直线MN的方程为y+1＝

4

3

(x+

3

2

)，令x=0，得y=1可猜测定点的坐标为（0，1），并记这个定点为B
再证明k_BM=k_BN，即M，B，N三点共线即可．
又F（0，-1），B（0，1）是椭圆E的焦点，利用椭圆的定义即可得出△FMN的周长．

（Ⅰ）根据题意可得


3
2a2+
2
b2＝1
b2−a2＝1
可解得

a＝
3
b＝2
∴椭圆E的方程为
x2
3+
y2
4＝1…（4分）
（Ⅱ）不妨设A₁（0，2），A₂（0，-2）
P（x₀，4）为直线y=4上一点（x₀≠0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
直线PA₁方程为y＝
2
x0x+2，直线PA₂方程为y＝
6
x0x−2
点M（x₁，y₁），A₁（0，2）的坐标满足方程组

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．

考点点评： 熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到方程组、三点共线与斜率的关系等是解题的关键．