shmillqy
幼苗
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(1)2(2)见解析
(1)设y=kx+t(k>0),
由题意,t>0,由方程组
,得(3k
2 +1)x
2 +6ktx+3t
2 ﹣3=0,
由题意△>0,
所以3k
2 +1>t
2 ,设A(x
1 ,y
1 ),B(x
2 ,y
2 ),
x
1 +x
2 =﹣
,所以y
1 +y
2 =
,
∵线段AB的中点为E,∴x
E =
,y
E =
,
此时k
OE =
=﹣
.
所以OE所在直线方程为y=﹣
x,
又由题设知D(﹣3,m).
令x=﹣3,得m=
,即mk=1,
所以m
2 +k
2 ≥2mk=2,
(2)(i)证明:由(1)知OD所在直线方程为y=﹣
x,
将其代入椭圆C的方程,并由k>0,解得G(﹣
,
),
又E(
,
),D(﹣3,
),
由距离公式和t>0,得
|OG|
2 =(﹣
)
2 +(
)
2 =
,
|OD|=
,
|OE|=
=
.
由|OG|
2 =|OD|∙|OE|,
得t=k,
因此直线l的方程为y=k(x+1),
所以直线l恒过定点(﹣1,0);
(ii)由(i)得G(﹣
,
),
若点B,G关于x轴对称,则B(﹣
,﹣
),
将点B坐标代入y=k(x+1),
整理得
,
即6k
4 ﹣7k
2 +1=0,解得k
2 =
或k
2 =1,
验证知k
2 =
时,
不成立,故舍去
所以k
2 =1,又k>0,故k=1,
此时B(﹣
,﹣
),G(﹣
,
)关于x轴对称,
又由(I)得x
1 =0,y
1 =1,所以点A(0,1),
由于△ABG的外接圆的圆心在x轴上,可设△ABG的外接圆的圆心为(d,0),
因此d
2 +1=(d+
)
2 +
,解得d=﹣
,
故△ABG的外接圆的半径为r=
=
,
所以△ABG的外接圆方程为
.
1年前
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