已知双曲线C与椭圆x2+5y2=5有共同的焦点，且一条渐近线方程为y＝3x

已知双曲线C与椭圆x2+5y2=5有共同的焦点，且一条渐近线方程为y＝
3
x
（1）求双曲线C的方程；
（2）设双曲线C的焦点分别为F1、F2，过焦点F1作实轴的垂线与双曲线C相交于A、B两点，求△ABF2的面积．
wkwkwkw 1年前 已收到1个回答 举报
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华盛ο邓 春芽

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解题思路：（1）由椭圆x2+5y2=5化为
x2
5
+y2＝1，可得c＝
5−1
＝2．设双曲线为
x2
a2
−
y2
b2
＝1，则渐近线为y＝±
b
a
x，可得
b
a
＝
3
a2+b2＝4
]解得即可；
（2）F1（-2，0），F2（2，0）．可设A（-2，y1），B（-2，y2），（y1＞y2），代入双曲线方程(−2)2−
y
2
1
3
＝1，解得y1，同理解得y2，可得|AB|=y1-y2．
又|F1F2|=2c=4．利用S△ABF2=
1
2
|AB|•|F1F2|即可得出．

（1）由椭圆x2+5y2=5化为
x2
5+y2＝1，∴c＝
5−1＝2，其焦点为（±2，0）．
设双曲线为
x2
a2−
y2
b2＝1，则渐近线为y＝±
b
ax，
∴


b
a＝
3
a2+b2＝4解得a2=1，b2=3，
∴双曲线为x2−
y2
3＝1．
（2）∵F1（-2，0），F2（2，0）．
∴可设A（-2，y1），B（-2，y2），（y1＞y2），代入双曲线方程(−2)2−

y21
3＝1，解得y1=3，同理解得y2=-3，∴|AB|=y1-y2=6．
又|F1F2|=2c=4．
∴S△ABF2=[1/2|AB|•|F1F2|=
1
2×6×4=12．

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的关系；双曲线的标准方程．

考点点评： 本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、直线与双曲线相交问题转化为方程联立、三角形的面积计算等基础知识与基本技能方法，属于中档题．

1年前

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