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由题设,得a(n+2)-a(n+1)≤a(n+1)-a(n).
又a(20)-a(10)=a(20)-a(19)+···+a(11)-a(10)≤10[a(11)-a(10)]①
又a(10)-a(1)=a(10)-a(9)+···+a(2)-a(1)≥9[a(10)-a(9)]②
由①②得[a(20)-a(10)]/10≤a(11)-a(10)③
[a(1)-a(10)]/9≤a(9)-a(10)④
③+④得
[a(20)-a(10)]/10+[a(1)-a(10)]/9≤a(9)+a(11)-2a(10)≤0
解得a(10)≥28.故a(10)的最小值为28.

因为(an+2+an)/2≥an+1,
所以
(an+2)-(an+1)≥(an+1)-an 等于的时候为等差数列
又因为a1=1,a20=58,
所以d=(a20-a1)/19=3
所以a10最小=28

1.可以讨论a1和a2之间的大小关系，如果a2小于等于a1，由条件可以推出a3小于等于a2（这里的证明可以利用a3+a1<=2a2<=a2+a1得到）；同理，可以继续推出a4小于等于a3...即数列为单调递减数列，与a20=58矛盾。所以a2应大于a1，同理继续推出数列为严格单调递增数列
2.补充定义a0=-2，由条件不难推出2a10>=a20+a0=56，所以a10最小值为28（这步不知...

记点A1（1，1），A2（2，a2），A3（3，a3），…，A19（19，a19），A20（20，58），
则过点A1A20的直线l的方程为y=3x-2，可证明点A2，A3，…，A19均不可能在直线l的右下方区域．
而当点A2，A3，…，A19均在直线l上时，数列{an}构成等差数列，显然有an+2+an2=an+1，当然满足an+2+an2≤an+1，易得公差为3，a10=28，...