设f（2x）=x2+bx+c（b，c∈R）．

解题思路：（1）用换元法求f（x）的解析式，设2^x=t，求出x，代入f（2^x）的解析式，即得所求；
（2）把已知条件转化为二次函数f（m）=m²+bm+c，当|m|≥2时，f（m）≥0，且f（m）在区间（2，3]上的最大值为1，求b的取值范围．

（1）∵f（2^x）=x²+bx+c，设2^x=t（t＞0），则x=log₂t，
∴f(t)＝(log2t)2+b(log2t)+c，
∴f(x)＝(log2x)2+b(log2x)+c(x＞0)；
（2）当x∈(0，
1
4]∪[4，+∞)，log₂x∈（-∞，-2]∪[2，+∞），
当x∈（4，8]，log₂x∈（2，3]，已知条件转化为：
f（m）=m²+bm+c，当|m|≥2时，f（m）≥0，且f（m）在区间（2，3]上的最大值为1．
首先：函数图象为开口向上的抛物线，且f（m）在区间（2，3]上的最大值为1．
故有f（2）≤f（3）=1，从而b≥-5且c=-3b-8．
其次：当|m|≥2时，f（m）≥0，有两种情形：
Ⅰ）若f（m）=0有实根，则△=b²-4c≥0，
且在区间[-2，2]有

f(−2)≥0
f(2)≥0
−2≤
b
2≤2，即

4−2b+c≥0
4+2b+c≥0
−4≤b≤4，消去c，解出

b≤−
4
5
b≤−4
−4≤b≤4；
即b=-4，此时c=4，且△=0，满足题意．
Ⅱ）若f（m）=0无实根，则△=b²-4c＜0，将c=-3b-8代入解得-8＜b＜-4．
综上Ⅰ）Ⅱ）得：b的取值范围是{b|-5≤b≤-4}．

点评：
本题考点： 二次函数的性质．

考点点评： 本题考查了求函数的解析式以及二次函数在某一区间上的最值问题，是易错题．