过双曲线x的平方-y的平方=4上任意一点M作它的一条渐近线的垂线段,垂足为N,0为原点,则三角形OMN的面积为

x^2-y^2=4,
——》渐近线的方程为：x^2-y^2=0,即x=+-y,
假设点M在第一象限,坐标为(a,b),点N在渐近线y=x上,则：
MN的方程为：x+y=a+b,
——》xn=yn=(a+b)/2,即N点为（(a+b)/2,(a+b)/2）,
——》ON=(a+b)√2/2,MN=√[(a-xn)^2+(b-yn)^2]=(a-b)√2/2,
又点M在双曲线上,——》a^2-b^2=4,
——》
S△OMN
=1/2*ON*MN
=1/2*(a+b)√2/2*(a-b)√2/2
=(a^2-b^2)/4
=1.

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设M（a1,b1），N（a2,b2），渐近线在x轴上的点为H(a2,0)

渐近线的方程为x^2-y^2=0,且N在渐近线上，即a2^2-b2^2=0

• N点事M点在渐近线上的一个垂点，则有b1=b2 即a2^2-b1^2=0

• M在双曲线x^2-y^2=4上， 即a1^2-b1^2=4

• 由平行四边形定理可知，a1-a2=a2 得到a1-2a2

  解得a1=4/根号3 a2=b1=2/根号3

  三角形OMN的面积等于1/2*a2*b1=4/3