梯形ABCD中，AD ∥ BC，DE ∥ AB，对角线BD平分∠ABC，

（1）证明：∵AD ∥ BC，DE ∥ AB，
∴四边形ABED是平行四边形，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBD，
∵AB ∥ DE，
∴∠ABD=∠BDE，
∴∠EBD=∠BDE，
∴BE=DE，
∴四边形ABDE是菱形；

（2）设AB=x，
∵四边形ABED为菱形，
∴AD=AB=BE=ED=x，
∴CE=BC-BE=8-x，
∵∠DEC=∠ABC，∠ABC+∠C=90°，
∴∠DEC+∠C=90°，
∴∠CDE=90°
∴DE2+CD2=CE2√
∴4 2 +x 2 =（8-x） 2 ，
∴x=3
∴梯形ABCD的周长=x+x+8+4=18．