如图，在四边形ABCD中，AC=BD，且AC⊥BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．则四边形EFGH是
如图，在四边形ABCD中，AC=BD，且AC⊥BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．则四边形EFGH是怎样的四边形？证明你的结论．
赞 贝妲 幼苗
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解题思路：由三角形中位线的性质，可判定EH∥FG，GH∥EF，继而可证得四边形EFGH是平行四边形．四边形ABCD的对角线AC、BD满足AC⊥BD且AC=BD时，四边形EFGH是正方形．
答：四边形EFGH是正方形．
证明：在△ABC中，E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF∥AC，
同理FG=BD，GH=AC，HE=BD，
∵AC=BD，∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH是菱形．
设AC与BD交于点O，AC与EH交于点M
在△ABD中，E、H分别是AB、AD的中点，
∴EH∥BD，同理GH∥AC，
∵AC⊥BD，
∴∠BOC=90°，
∵EH∥BD，
∴∠EMC=∠BOC=90°，
∵HG∥AC，
∴∠EHG=∠EMC=90°，
∴四边形EFGH是正方形．
点评：
本题考点： 中点四边形．
考点点评： 此题考查了中点四边形的性质．学生灵活运用三角形的中位线定理，平行四边形的判断及菱形的判断进行证明，是一道综合题．
1年前
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baiqianlao 幼苗
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因为E、F、G、H分别是AB,BC,CD,AD的中点 所以HG‖AC HG=AC/2 AC‖EF AC=EF/2
故HG‖AC HG=AC
同理NE‖GF NE=GF
因为AC⊥BD 所以HG⊥HE HG⊥GF GF⊥EF EF⊥HE
所以EFGH是正方形
故HG‖AC HG=AC
同理NE‖GF NE=GF
因为AC⊥BD 所以HG⊥HE HG⊥GF GF⊥EF EF⊥HE
所以EFGH是正方形
1年前
0
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