三氧化二yy 春芽
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(Ⅰ)若f(x)在R上为奇函数,则f(0)=0,
∵函数f(x)对任意a,b∈R都有f(a+b)=f(a)+f(b)+k,
∴令a=b=0,则f(0+0)=f(0)+f(0)+k,
∴k=0,
下证明函数是奇函数
∵f(a+b)=f(a)+f(b),
∴令a=x,b=-x,则f(x-x)=f(x)+f(-x),
又f(0)=0,
∴0=f(x)+f(-x),
∴f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立,
∴f(x)为奇函数;
(Ⅱ)∵k=-1,
∴f(a+b)=f(a)+f(b)-1,
∴f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5,即2f(2)-1=5,
∴f(2)=3,
∵不等式f(mx2-2mx+3)>3对任意x∈R恒成立,
∴f(mx2-2mx+3)>f(2)对任意x∈R恒成立,
又∵f(x)是R上的增函数,
∴mx2-2mx+3>2对任意x∈R恒成立,
∴mx2-2mx+1>0对任意x∈R恒成立,
①当m=0时,1>0对x∈R恒成立,
∴m=0符合题意;
②当m≠0时,则有
m>0
△=4m2−4m<0,即
m>0
0<m<1,
∴0<m<1,
∴实数m的取值范围为0<m<1.
综合①②可得,实数m的取值范围是[0,1).
点评:
本题考点: 函数恒成立问题;函数单调性的判断与证明;抽象函数及其应用.
考点点评: 本题考查了函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明,函数的恒成立问题,以及抽象函数及其应用.奇偶性的判断一般应用奇偶性的定义和图象,要注意先考虑函数的定义域是否关于原点对称.注意一般单调性的证明选用定义法证明,证明的步骤是:设值,作差,化简,定号,下结论.对于函数的恒成立问题,一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法进行求解.属于中档题.
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