在平面直角坐标系中，已知抛物线y= - 1 2 x 2 +bx+c（b，c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点

（1）∵等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，-1），C的坐标为（4，3）
∴点B的坐标为（4，-1）．
∵抛物线过A（0，-1），B（4，-1）两点，
∴

c=-1
-
1
2 ×16+4b+c=-1 ，解得：b=2，c=-1，
∴抛物线的函数表达式为：y= -
1
2 x ² +2x-1．

（2）i）∵A（0，-1），C（4，3），
∴直线AC的解析式为：y=x-1．
设平移前抛物线的顶点为P ₀ ，则由（1）可得P ₀ 的坐标为（2，1），且P ₀ 在直线AC上．
∵点P在直线AC上滑动，∴可设P的坐标为（m，m-1），
则平移后抛物线的函数表达式为：y= -
1
2 （x-m） ² +m-1．
解方程组：

y=x-1
y=-
1
2 ( x-m) 2 +(m-1) ，
解得

x 1 =m
y 1 =m-1 ，

x 2 =m-2
y 2 =m-3
∴P（m，m-1），Q（m-2，m-3）．
过点P作PE ∥ x轴，过点Q作QF ∥ y轴，则
PE=m-（m-2）=2，QF=（m-1）-（m-3）=2．
∴PQ= 2
2 =AP ₀ ．
若以M、P、Q三点为顶点的等腰直角三角形，则可分为以下两种情况：
①当PQ为直角边时：点M到PQ的距离为 2
2 （即为PQ的长）．
由A（0，-1），B（4，-1），P ₀ （2，1）可知，
△ABP ₀ 为等腰直角三角形，且BP ₀ ⊥AC，BP ₀ = 2
2 ．
如答图1，过点B作直线l ₁ ∥ AC，交抛物线y= -
1
2 x ² +2x-1于点M，则M为符合条件的点．
∴可设直线l ₁ 的解析式为：y=x+b ₁ ，
∵B（4，-1），∴-1=4+b ₁ ，解得b ₁ =-5，
∴直线l ₁ 的解析式为：y=x-5．
解方程组

y=x-5
y=-
1
2 x 2 +2x-1 ，得：

x 1 =4
y 1 =-1 ，

x 2 =-2
y 2 =-7
∴M ₁ （4，-1），M ₂ （-2，-7）．

②当PQ为斜边时：MP=MQ=2，可求得点M到PQ的距离为
2 ．
如答图2，取AB的中点F，则点F的坐标为（2，-1）．
由A（0，-1），F（2，-1），P ₀ （2，1）可知：
△AFP ₀ 为等腰直角三角形，且点F到直线AC的距离为
2 ．
过点F作直线l ₂ ∥ AC，交抛物线y= -
1
2 x ² +2x-1于点M，则M为符合条件的点．
∴可设直线l ₂ 的解析式为：y=x+b ₂ ，
∵F（2，-1），∴-1=2+b ₂ ，解得b ₂ =-3，
∴直线l ₂ 的解析式为：y=x-3．
解方程组

y=x-3
y=-
1
2 x 2 +2x-1 ，得：

x 1 =1+
5
y 1 =-2+
5 ，

x 2 =1-
5
y 2 =-2-
5
∴M ₃ （1+
5 ，-2+
5 ），M ₄ （1-
5 ，-2-
5 ）．
综上所述，所有符合条件的点M的坐标为：
M ₁ （4，-1），M ₂ （-2，-7），M ₃ （1+
5 ，-2+
5 ），M ₄ （1-
5 ，-2-
5 ）．

ii）
PQ
NP+BQ 存在最大值．理由如下：
由i）知PQ= 2
2 为定值，则当NP+BQ取最小值时，
PQ
NP+BQ 有最大值．

如答图2，取点B关于AC的对称点B′，易得点B′的坐标为（0，3），BQ=B′Q．
连接QF，FN，QB′，易得FN ∥ PQ，且FN=PQ，
∴四边形PQFN为平行四边形．
∴NP=FQ．
∴NP+BQ=FQ+B′Q≥FB′=
2 2 + 4 2 = 2
5 ．
∴当B′、Q、F三点共线时，NP+BQ最小，最小值为 2
5 ．
∴
PQ
NP+BQ 的最大值为
2
2
2
5 =

10
5 ．