（1）f（x）=ln(x+1)x（x＞0），求证：若m＞n＞0，则f（m）＜f（n）．

解题思路：（1）方法一：设B（m，ln（m+1）），A（n，ln（n+1））为函数y=ln（x+1）图象上两点，通过k_OA＞k_OB证明结果．
方法二：通过函数的对数判断h（x）是减函数，由m＞n＞0可得f（m）＜f（n）．
（2）求出函数的导数，通过g'（x）=0得2ax²=1，当a≤0时，求出最大值为g（2）当a＞0时，求出最大值为g（2），当a≥[1/2]时，求出函数的最大值为g（1），当[1/8]＜a＜[1/2]时g（x）求出函数的最大值即可．

（1）方法一：设B（m，ln（m+1）），A（n，ln（n+1））为函数y=ln（x+1）图象上两点
而f（m），f（n）分别B、A两点与原点连线的斜率，
显然k_OA＞k_OB
即f（m）＜f（n）…（5分）
方法二：f′(x)＝

x
x+1−ln(x+1)
x2
令h(x)＝
x
x+1−ln(x+1)h′(x)＝
1
(x+1)2−
1
x+1＝
−x
(x+1)2＜0
∴h（x）是减函数
由x＞0得，h（x）＜h（0）=0
∴f'（x）＜0
∴f（x）是减函数
由m＞n＞0可得f（m）＜f（n）…（5分）
（2）g′(x)＝
1
x−2ax＝
1−2ax2
x
令g'（x）=0得2ax²=1…①
当a≤0时，g'（x）＞0，g（x）在[1，2]上为增函数
∴最大值为g（2）
当a＞0时，由①得x＝

1
2a
若

1
2a≥2即0＜a≤[1/8]时，g'（x）≥0，g（x）在[1，2]上为增函数
∴最大值为g（2）
若

1
2a≤1即a≥[1/2]时，g'（x）≤0，g（x）在[1，2]上为减函数
∴最大值为g（1），
若1＜

1
2a

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数单调性的性质．

考点点评： 本题考查函数的导数，单调性的应用，利用函数的导数求解函数的最值的方法，考查计算能力．