矩阵AB=AC,A不等于0矩阵,如果A是m*n矩阵,且R(A)=n,则为啥能推出B=C?

lidcba1976 1年前已收到2个回答举报

ty2006 幼苗

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AB=AC,则A(B-C)=0
所以B-C是由Ax=0的解空间中向量构成的矩阵
A即便不是零矩阵,只要A的行列式等于0,Ax=0也能有非零解,故B-C可以不等于零
而A是m*n矩阵,r(A)=n时,Ax=0只能有零解,故B-C=0,故B=C

1年前

szq0076 幼苗

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反证法，假如有B≠C，那么有A(B-C)=0,并且B-C不等于0。假设D=B-C的第i列不全为零，记为Di=[di1,di2,...,din]的转置；记aj为矩阵A的第j列，则A可以写成A=[a1,a2,...,an]。于是有di1*a1+...+din*an=0,由于dij不全为0，故可以得到a1,...,an是线性相关的，这与R(A)=n是矛盾的。

1年前

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