1.在正方形ABCD中,O是对角线AC的中点,P是对角线AC上一动点,过点P作PE⊥PB,交直线CD于点E,如图,若点P
1.在正方形ABCD中,O是对角线AC的中点,P是对角线AC上一动点,过点P作PE⊥PB,交直线CD于点E,如图,若点P在线段AO上（不与点A,O重合）,延长BP交直线AD于点F,连接EF.写出线段AF,EF,CE之间一个的等量关系,并证明你的结论.
赞 yueyuxueying 幼苗
共回答了19个问题采纳率：89.5% 举报
依题作图,设∠FBD=x,正方形边长为1,则
AF=tan(45-x)=(1-tanx)/(1+tanx),FD=1-AF=1-tan(45-x)=2tanx/(1+tanx).PO=√2/2tanx.
因为△BFD∽△PEC,所以CE/FD=PC/BD,解得：CE=tanx.所以ED=CD-CE=1-tanx.
在此设 tanx=a,方便计算
FE*FE=FD*FD+DE*DE=[2a/(1+a)]*[2a/(1+a)]+(+(1-a)(1-a)
(AF+CE)*(AF+CE)=[(1-a)/(1+a)+a]*[(1-a)/(1+a)+a]
经计算得FE*FE=(AF+CE)*(AF+CE),所以EF=AF+CE.
AF=tan(45-x)=(1-tanx)/(1+tanx),FD=1-AF=1-tan(45-x)=2tanx/(1+tanx).PO=√2/2tanx.
因为△BFD∽△PEC,所以CE/FD=PC/BD,解得：CE=tanx.所以ED=CD-CE=1-tanx.
在此设 tanx=a,方便计算
FE*FE=FD*FD+DE*DE=[2a/(1+a)]*[2a/(1+a)]+(+(1-a)(1-a)
(AF+CE)*(AF+CE)=[(1-a)/(1+a)+a]*[(1-a)/(1+a)+a]
经计算得FE*FE=(AF+CE)*(AF+CE),所以EF=AF+CE.
1年前 追问
10
正切是学过的吧，相似等比学过的吧，你可能不懂的地方是AF=tan(45-x)=(1-tanx)/(1+tanx),是吗？那么，换一个解法，可能计算量大一点，思路如下：设正方形边长为1，从F点作FM垂直BD,垂足为点M，设PO=b,FD=a,∠FBD=x，则FM=√2a/2.因为PE⊥PB，BD⊥AC，所以△BPO∽△BFM,△BFD∽△PEC,根据相似等比，可得：FM/PO=PO/BO,CE/FD=PC/BD.解得：PO=b=√2a/2(2-a). CE=√2b=a/(2-a).[1式] DE=1-CE=1-a/(2-a)=(2-2a)/(2-a)[2式] 利用勾股定理求得EF的平方值EF²=(a的四次方-4a³+8a²-8a+4) 再将(AF+CE)的值平方，(AF+CE)²=(a的四次方-4a³+8a²-8a+4) 所以EF=AF+CE。
从点E作EM平行AD交AC于点M,则CE=EM，交BF于点N，从P点作直角三角形的中线PG交EF于点G,即PG=1/2EF.易证PG平行于AF，且为梯形AFEN的中位线，所以AF+CE=2PG，所以AF+CE=EF.
可能相似的问题