数学题在正方形ABCD中,E是CD边的中点,AC与BE相交点F,连接DF与BC相交于M,连接AE,判断AE与DF的位置关

AE⊥DF
证法①：∵四边形ABCD是正方形
∴AD＝AB,∠DAF＝∠BAF=45°,AF＝AF
∴△ADF≌△ABF,∴∠ADF＝∠ABF,即∠ADH＝∠ABF
又∵AD＝BC,∠ADE＝∠BCE＝90°,DE＝CE
∴△ADE≌△BCE,∴∠DAE＝∠CBE,即∠DAH＝∠CBE
∵∠ABE＋∠CBE＝90°
∴∠ADH＋∠DAH＝90°
∴∠AHD＝90°
∴AE⊥DF
证法②：∵四边形ABCD是正方形
∴DC＝BC,∠DCF＝∠BCF=45°
又∵CF＝CF
∴△DCF≌△BCF
∴∠CDF＝∠CBF
又∵AD＝BC,∠ADE＝∠BCE＝90°,DE＝CE
∴△ADE≌△BCE
∴∠DAE＝∠CBF,即∠DAE＝∠CDF
∵∠DAE＋∠AED＝90°
∴∠CDF＋∠AED＝90°
∴∠EHD＝90°
∴AE⊥DF
第二问BM=MC 有上面的证明那就好证明了 ：
∵∠ADE＝∠CDM,AD=DC,∠DAE＝∠CDF(M)
∴△CDM≌△DAE
∴DE=CM
∵E是CD边的中点,
∴BM=MC

AE垂直DF;BM=MC

看图大概AE垂直DF；BM=MC
下面实际计算：以A为原点,AB为x轴,AD为y轴建立坐标系。设边长为1
则注意到EC：AB=1/2，则坐标F（2/3,2/3)
因此AE斜率为（1-0)/(2/1-0)=2
DF斜率为（2/3-1)/(2/3-0)=-1/2
因为2*（-1/2)=-1，所以AE⊥DF.
下一步：DF直线方程为 y-1=-...

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