如图所示,在正方形ABCD中,E是CD边的中点,AC与BE相交于点F,连结DF.

AE垂直DF
证明：设AE于DF相交于M
因为四边形ABCD是正方形（已知）
所以AD=AB（正方形定理）
角DAF=角BAF=角ACB=45度（正方形定理）
AD=BC（正方形定理）
角ADE=角BCE=角DAB=90度（正方形定理）
因为AF=AF（公共边）
所以三角形DAF和三角形BAF全等（SAS)
所以角AFD=角AFB（全等三角形对应角相等）
因为E是CD的中点（已知）
所以DE=CE（中点定义）
所以三角形ADE和三角形BCE全等（SAS)
所以角DAE=角CBF（全等三角形对应角相等）
因为角AFB=角ACB+角CBF=角AFD+角CBF
所以角DAE+角BAF=角AFD（三角形外角和定理）
因为角DAB=角DAE+角EAF+角BAF=90度（等式的性质）
所以角EAF+角AFD==90度（等式的性质）
因为角EAF+角AFD+角AMF=180度（三角形内角和等于180度）
所以角AMF=90度（等式的性质）
所以AE垂直DF（垂线的判定定理）