123456qwe 幼苗
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(Ⅰ)设y=f(x)与y=g(x)(x>0)在公共点(x0,y0)处的切线相同,
∵f′(x)=x+2a,g′(x)=
3a2
x,
由题意f(x0)=g(x0),f′(x0)=g′(x0),
∴
1
2x02+2ax=3a2lnx0+b,x0+2a=
3a2
x0,
由x0+2a=
3a2
x0得x0=a,x0=-3a(舍去)
即有b=[5/2a2−3a2lna(3分)
令h(t)=
5
2t2−3t2lnt(y>0),则h′(t)=2t(1-3lnt)
当t(1-3lnt)>0,即0<t<e
1
3]时,h'(t)>0;
当t(1-3lnt)<0,即t>e
1
3时,h'(t)<0.
故h(t)在(0,e
1
3)为增函数,在(e
1
3,+∞)为减函数,
于是h(t)在(0,+∞)的最大值为h(e
1
3)=[3/2e
2
3](6分)
(Ⅱ)设F(x)=f(x)-g(x)=[1/2x2+2ax−3a2lnx−b(x>0),
则F'(x)=x+2a-
3a2
x]=
(x−a)(x+3a)
x(x>0)(10分)
故F(x)在(0,a)为减函数,在(a,+∞)为增函数,
于是函数F(x)在(0,+∞)上的最小值是F(a)=F(x0)=f(x0)-g(x0)=0.
故当x>0时,有f(x)-g(x)≥0,即当x>0时,f(x)≥g(x)(12分)
点评:
本题考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程.
考点点评: 考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率,会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值.考查化归与转化思想.属于中档题.
1年前
1年前1个回答
已知函数fx=x2-2ax-2alnx在其定义域区间上为增函数
1年前1个回答
1年前1个回答
已知定义在R上的函数f(x)=x2(2ax-3),其中a为常数.
1年前1个回答
你能帮帮他们吗