设f（x）=-[1/3]x3+[1/2]x2+2ax．

解题思路：（1）由已知得f′（x）=-x²+x+2a，求出函数的最值，继而得到a的取值范围．
（2）先根据导数求出极值点．在判断函数的再某个区间上的单调性，根据单调性得到最值．

（1）由f′(x)=-x2+x+2a=-(x-
1
2)2+
1
4+2a．
当x∈[
2
3，+∞)时，f'（x）的最大值为f′(
2
3)=-(
2
3-
1
2)2+
1
4+2a=
2
9+2a．
因为f（x）在(
2
3，+∞)上是单调减函数，则f'（x）≤0在(
2
3，+∞)上成立，
所以[2/9+2a≤0，解得a≤-
1
9]，故所求实数a的取值范围为(-∞，-
1
9]．
（2）令f′(x)=0，得两根x1=
1-
1+8a
2，x2=
1+
1+8a
2．
因为当x＜x₁或x＞x₂时f'（x）＜0，当x₁＜x＜x₂时f'（x）＞0
所以f（x）在（-∞，x₁）和（x₂，+∞）上单调递减，在（x₁，x₂）上单调递增．
当0＜a＜2时，有x₁＜1＜x₂＜4，所以f（x）在[1，4]上的最大值为f（x₂），
又f(4)-f(1)=-
27
2+6a＜0，即f(4)＜f(1)．
所以f（x）在[1，4]上的最小值为f(4)=8a-
40
3=-
16
3．
得a=1，x₂=2，从而f（x）在[1，4]上的最大值为f(2)=
10
3．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 本题考查函数的单调区间的求法，考查函数在闭区间上的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．

利用求导来完成

求导f(x)’=-x²+x+2a
=-(x-1/2)²+2a+1/4
<-(x-1/2)²+2×0+1/4=-(x-1/2)²+1/4
<-(1-1/2)²+1/4=0
即当x∈[1...