如图，在△ABC中，∠C=90°，以BC上一点O为圆心，以OB为半径的圆交AB于点M，交BC于点N．

解题思路：（1）连接MN，构造一个直角三角形．即可把证明的线段放到两个直角三角形中，根据相似三角形的判定和性质进行证明；
（2）连接OM，根据切线的性质得到直角△COM，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到MN等于圆的半径，从而发现等边三角形OMN，再根据圆周角定理得到∠B=30°，根据30°所对的直角边是斜边的一半即可求得AB的长．

（1）证明：连接MN，
则∠BMN=90°=∠ACB，
∴△ACB∽△NMB，
∴[BC/BM＝
AB
BN]，
∴AB•BM=BC•BN；
（2）连接OM，则∠OMC=90°，
∵N为OC中点，
∴MN=ON=OM，
∴∠MON=60°，
∵OM=OB，
∴∠B=[1/2]∠MON=30°，
∵∠ACB=90°，
∴AB=2AC=2×3=6．

点评：
本题考点： 与圆有关的比例线段；特征值、特征向量的应用；简单曲线的极坐标方程；一般形式的柯西不等式．

考点点评： 注意：连接直径构造直角三角形，连接过切点的半径都是圆中常见的辅助线．熟练运用直角三角形的性质能够发现等边三角形，进一步运用圆周角定理发现特殊的直角三角形．

证明
∵BN是⊙O的直径
∴∠NMB＝∠ACB＝90°
∵∠B＝∠B
∴△BMN∽△BCA
∴BM∶BC＝BN∶BA
∴BA·BM=BC·BN
（2）若CM为切线，连接OM，则OM⊥NM
∵N为OC的中点
∴MN＝CN＝ON=OM
∴△OMN为等边三角形
∴∠MON＝60°
∴∠B＝30°
∴...

连接MN
△ABC相似于△NBM
BA/BC=BN/BM
BA乘BM=BC乘BN
连接OM
可以知道
∠A=∠AMC
OC=2OM
所以OM=MC/根号3=根号3
BC=3倍根号3
AB=6

1） 连接M ，N两点
角NMB为直角 ，所以 三角形ACB 和三角形NMB 相似
所以BA/BC=BN/BM
所以，，，
2）因为CM 是切线 ，所以角CMO为90度
因为OM=1/2 CO
所以角MCO =30 度
所以角COM=60度
所以角CBM =30度
所以AB=2AC
AB=6