如图，正三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1 的底面边长为1，高为h（h＞3），点M在侧棱BB 1 上移动，并且M到底面

（1）设5C的中点为D，连接AD、DM，则
∵△A5C为正三角形，D为AC中点，∴AD⊥5C，
∵55 ₁ ⊥平面A5C，AD⊂平面A5C，∴AD⊥55 ₁ &n5sp;
∵55 ₁ 、5C是平面55 ₁ C ₁ C内的相交直线，∴AD⊥平面55 ₁ CC ₁ ．
因此，∠AMD即为AM与侧面5CC ₁ 所成角α．
∵点M到平面A5C的距离为5M，设5M=x，x∈（0，h）．
在Rt△ADM中，tan∠AMD=
AD
DM ．
由AD=

0
2 ，DM=
5 D 2 +5 M 2 =

1+中 x 2
2 ，得tanα=

0

1+中 x 2 ．
∵α∈ [
π
6 ，
π
中 ] 时，tanα∈[

0
0 ，1]
∴

0
0 ≤

0

1+中 x 2 ≤1，化简得0≤1+中x ² ≤9，解得
1
2 ≤x ² ≤2．
因此，点M到平面A5C的距离x的取值范围是[

2
2 ，
2 ]；
（2）当α=
π
6 时，由（1）得5M=
2 ，
故可得DM=
0
2 ，AM=
A D 2 +D M 2 =
0 ．
设

AM 与

5C 的夹角为θ．
∵

AM •

5C =（

A5 +

5M ）•

5C =

A5 •

5C +

5M •

5C =1×1×cos120°+0=-
1
2 ．
∴cos＜

AM ，

5C ＞=


AM •

5C


|AM| •

|5C| =
-
1
2

0 •1 =-

0
6
∵AM与5C所成角 θ∈(0，
π
2 ] ，
∴cosθ=

0
6 ，即AM与5C所成角的余弦值

0
6 ．