（2014•潮州二模）如图，线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，|AB|=5，点M是线段AB上一点，且AM=

解题思路：（1）设M（x，y），A（a，0），B（0，b），由

AM

＝λ

MB

，得（x-a，y）=λ（-x，b-y），由a²+b²=25，得

x2

25 (1+λ)2

+

y2

25λ2 (1+λ)2

＝1．若λ=1，则方程为x2+y2＝

25

4

，轨迹为圆；若0＜λ＜1，则轨迹E表示为焦点在x轴上的椭圆；若λ＞1，则轨迹E表示焦点在y轴上的椭圆．
（2）当λ＝

2

3

时，轨迹方程为

x2

9

+

y2

4

＝1，利用点差法能求出直线CD的方程．

（1）设M（x，y），A（a，0），B（0，b），
由

AM＝λ

MB，得（x-a，y）=λ（-x，b-y），


x−a＝−λx
y＝λ(b−y)，从而

a＝(1+λ)x
b＝
(1+λ)
λy，
由a²+b²=25，得
x2

25
(1+λ)2+
y2

25λ2
(1+λ)2＝1．
①若λ=1，则方程为x2+y2＝
25
4，轨迹为圆；
②若0＜λ＜1，则轨迹E表示为焦点在x轴上的椭圆；
③若λ＞1，则轨迹E表示焦点在y轴上的椭圆．
（2）当λ＝
2
3时，轨迹方程为
x2
9+
y2
4＝1，
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
设弦CD的斜率为k，代入作差，得：

x12−x22
9-
y12−y22
4=0，
由x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，得k=-[4/9]，
∴直线CD的方程为y-1=-[4/9]（x-1），整理，得4x+9y-13=0．

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．

考点点评： 本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．