（2014•天津三模）已知函数f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx，g（x）=xe1-x．（a∈R，e为自然对数的底

解题思路：（Ⅰ）把a=1代入到f（x）中求出f′（x），令f′（x）＞0求出x的范围即为函数的增区间，令f′（x）＜0求出x的范围即为函数的减区间；
（Ⅱ）f（x）＜0时不可能恒成立，所以要使函数在（0，[1/2]）上无零点，只需要对x∈（0，[1/2]）时f（x）＞0恒成立，列出不等式解出a大于一个函数，利用导数得到函数的单调性，根据函数的增减性得到这个函数的最大值即可得到a的最小值；
（Ⅲ）求出g′（x），根据导函数的正负得到函数的单调区间，即可求出g（x）的值域，而当a=2时不合题意；当a≠2时，求出f′（x）=0时x的值，根据x∈（0，e]列出关于a的不等式得到①，并根据此时的x的值讨论导函数的正负得到函数f（x）的单调区间，根据单调区间得到②和③，令②中不等式的坐标为一个函数，求出此函数的导函数，讨论导函数的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性得到此函数的最大值，即可解出②恒成立和解出③得到④，联立①和④即可解出满足题意a的取值范围．

（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x-1-2lnx，则f′（x）=1-[2/x]，
由f′（x）＞0，得x＞2；
由f′（x）＜0，得0＜x＜2．
故f（x）的单调减区间为（0，2]，单调增区间为[2，+∞）；

（Ⅱ）因为f（x）＜0在区间(0，
1
2)上恒成立不可能，
故要使函数f(x)在(0，
1
2)上无零点，
只要对任意的x∈(0，
1
2)，f（x）＞0恒成立，即对x∈(0，
1
2)，a＞2−
2lnx
x−1恒成立．
令l(x)＝2−
2lnx
x−1，x∈(0，
1
2)，则l(x)＝−

2
x(x−1)−2lnx
(x−1)2＝
2lnx+
2
x−2
(x−1)2，
再令m(x)＝2lnx+
2
x−2，x∈(0，
1
2)，
则m′(x)＝−
2
x2+
2
x＝
−2(1−x)
x2＜0，故m（x）在(0，
1
2)上为减函数，于是m(x)＞m(
1
2)＝2−2ln2＞0，
从而，l（x）＞0，于是l（x）在(0，
1
2)上为增函数，所以l(x)＜l(
1
2)＝2−4ln2，
故要使a＞2−
2lnx
x−1恒成立，只要a∈[2-4ln2，+∞），
综上，若函数f（x）在(0，
1
2)上无零点，则a的最小值为2-4ln2；

（Ⅲ）g′（x）=e^1-x-xe^1-x=（1-x）e^1-x，
当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；
当x∈（1，e]时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减．
又因为g（0）=0，g（1）=1，g（e）=e•e^1-e＞0，
所以，函数g（x）在（0，e]上的值域为（0，1]．
当a=2时，不合题意；
当a≠2时，f′（x）=2−a−
2
x＝
(2−a)x−2
x＝
(2−a)(x−
2
2−a)
x，x∈（0，e]
当x=

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 此题考查学生会利用导函数的正负确定函数的单调性，会根据函数的增减性求出闭区间上函数的最值，掌握不等式恒成立时所满足的条件，是一道压轴题．