证明：若函数f（x）在[0，1]上二阶可导，且∀x∈[0，1]，有|f″（x）|≤1，又f（x）在（0，1）内取到最大值

解题思路：由已知条件，根据函数取极值的必要条件得到f′（ξ）=0（ξ∈（0，1））；然后对f′（x）在x=ξ处，利用泰勒公式进行二阶展开；再将x=0和x=1代入，利用|f″（x）|≤1，求得结论．

证明：由于函数f（x）在[0，1]上二阶可导，f（x）在（0，1）内取到最大值
∴∃ξ∈（0，1），使得f′（ξ）=0
∴对f′（x）在x=ξ处，利用泰勒公式进行一阶展开，得到
f′（x）=f′（ξ）+f″（η）（x-ξ），其中η处于x和ξ之间
而f′（ξ）=0
∴f′（x）=f″（η）（x-ξ），
∴f′（0）=f″（η₁）（0-ξ），f′（1）=f″（η₂）（1-ξ），其中η₁∈（0，ξ），η₂∈（ξ，1）
又∀x∈[0，1]，有|f″（x）|≤1
∴|f'（0）|+|f'（1）|=ξ|f''（η₁）|+（1-ξ）|f''（η₂）|≤1
得证．

点评：
本题考点： 利用泰勒公式进行证明．

考点点评： 此题考查函数极值的判定定理和泰勒公式的使用，是基础知识点的综合，其中此处用的泰勒展开式实际上是拉格朗日中值定理．