在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c经过（0，2）和点（3，5）．

解题思路：（1）根据抛物线y=x²+bx+c经过（0，2）和点（3，5），将点代入求出即可；
（2）根据点P为抛物线上一动点，直径为4的⊙P与y轴相切，得出圆心的横坐标为2或-2，求出即可．

（1）∵抛物线y=x²+bx+c经过（0，2）和点（3，5），
∴将点代入解析式：


c＝2
9+3b+c＝5，
解得：

b＝−2
c＝2，
∴抛物线的表达式为：y=x²-2x+2，
∴y=x²-2x+2，
=（x-1）²+1，
∴顶点坐标为：（1，1）；
（2）∵点P为抛物线上一动点，直径为4的⊙P与y轴相切，
∴圆心的横坐标为2或-2，
当x=2，y=x²-2x+2=4-4+2=2，
∴点P的坐标为：（2，2），
当x=-2，y=x²-2x+2=4+4+2=10，
∴点P的坐标为：（-2，10）．

点评：
本题考点： 二次函数综合题；待定系数法求二次函数解析式；切线的判定．

考点点评： 此题主要考查了二次函数的综合应用以及待定系数法求二次函数解析式和直线与圆的位置关系，根据直径为4的⊙P与y轴相切，得出圆心的横坐标为2或-2是解题关键．

（1）：将（0,2）和（3，5）分别带入解析式y=x^2+bx+c,得到一个关于b和c的二元一次方程组，解之得：b=-2，c=2,； 所以解析式为y=x^2-2x+2.
(2):如果直径为4的圆P与y轴相切,那么点P的横坐标必须为2或-2，所以将x=2代入解析式，得：y=2；将x=-2代入解析式，得：y=10；综上点P的坐标为（2,2）或（-2,10）....