（2010•卢湾区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-[1/2]x2+bx+c经过点A（1，3），B（0，

（2010•卢湾区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-[1/2]x²+bx+c经过点A（1，3），B（0，1）．
（1）求抛物线的表达式及其顶点坐标；
（2）过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点C，
①求△ABC的面积；
②在y轴上取一点P，使△ABP与△ABC相似，求满足条件的所有P点坐标．

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康德111 幼苗

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解题思路：（1）将A（1，3），B（0，1），代入y=-

x2+bx+c，即可得出答案；
（2）①由对称性得C（4，3），根据三角形面积公式即可求解；
②将直线AC与y轴交点记作D，由[AD/BD=

2]，∠CDB为公共角，可得△ABD∽△BCD．从而∠ABD=∠BCD．分1°当∠PAB=∠ABC时，2°当∠PAB=∠BAC时两种情况讨论即可得出答案．

（1）将A（1，3），B（0，1），代入y=-
1
2x2+bx+c，
解得b=
5
2，c=1．
∴抛物线的解析式为y=-
1
2x2+
5
2x+1．
∴顶点坐标为(
5
2，
33
8)．

（2）①由对称性得C（4，3）．
∴S_△ABC=[1/2]|3-1|•|4-1|=3．
②将直线AC与y轴交点记作D，
∵[AD/BD=
BD
CD=
1
2]，∠CDB为公共角，
∴△ABD∽△BCD．
∴∠ABD=∠BCD．
1°当∠PAB=∠ABC时，[PB/AC=
AB
BC]，
∵BC=
(0-4)2+(1-3)2=2
5，
AB=
(0-1)2+(1-3)2=
5，AC=3
∴PB=
3
2，
∴P1(0，
5
2)．
2°当∠PAB=∠BAC时，[PB/BC=
AB
AC]，
∴
PB
2

点评：
本题考点：二次函数综合题．

考点点评：本题考查了二次函数综合题，难度适中，关键是掌握分类讨论的思想解题．

1年前

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