（2012•丰台区二模）已知函数f（x）=lnx，g(x)＝ax+bx，两函数图象的交点在x轴上，且在该点处切线相同．

（Ⅰ）因为f（x）与g（x）的图象在x轴上有公共点（1，0），所以g（1）=0，即a+b=0．
又因为f′(x)＝
1
x，g′(x)＝a−
b
x2，
由题意f'（1）=g'（1）=1，所以a-b=1
所以a＝
1
2，b＝−
1
2．…（4分）
（Ⅱ）证明：设F(x)＝f(x)−g(x)＝lnx−(
1
2x−
1
2x)，则F′(x)＝
1
x−
1
2−
1
2x2＝−
1
2(
1
x−1)2＜0．
所以F（x）在x＞1时单调递减．
由F（1）=0可得当x＞1时，F（x）＜0，即f（x）＜g（x）．…（9分）
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）得，[1/2(x−
1
x)＞lnx（x＞1）．
令x＝
k+1
k]，则ln
k+1
k＜
1
2(
k+1
k−
k
k+1)＝
1
2[(1+
1
k)−(1−
1
k+1)]＝
1
2(
1
k+
1
k+1)，
所以ln(k+1)−lnk＜
1
2(
1
k+
1
k+1)，k=1，2，3…，n．
将上述n个不等式依次相加得 ln(n+1)＜
1
2+(
1
2+
1
3+…+
1
n)+
1
2(n+1)，
所以1+
1
2+
1
3+…+
1
n＞ln(n+1)+
n
2(n+1)

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查不等式的证明，解题的关键是构建新函数，确定函数的单调性，属于中档题．

1年前

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