（2012•云南模拟）已知函数f(x)＝px−px−2lnx．

解题思路：（1）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出化简；
（2）令h（x）=px²-2x+p，要使f（x）在定义域（0，+∞）内是增函数，只需h（x）≥0在（0，+∞）内恒成立，然后建立不等关系，解之即可求出p的取值范围．

（1）当p=2时，函数f(x)＝2x−
2
x−2lnx，
f（1）=2-2-2ln1=0.f′(x)＝2+
2
x2−
2
x，
曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为f'（1）=2+2-2=2．
从而曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-0=2（x-1），即y=2x-2．

（2）f′(x)＝p+
p
x2−
2
x＝
px2−2x+p
x2．
令h（x）=px²-2x+p，要使f（x）在定义域（0，+∞）内是增函数，
只需h（x）≥0在（0，+∞）内恒成立．
由题意p＞0，h（x）=px²-2x+p的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为x＝
1
p∈(0，+∞)，
∴h(x)min＝p−
1
p，只需p−
1
p≥0，
即p≥1时，h（x）≥0，f'（x）≥0
∴f（x）在（0，+∞）内为增函数，正实数p的取值范围是[1，+∞）．

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数研究函数的单调性等基础题知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于基础题．