设函数f（x）=lnx-ax+1，其中a为常数．

（1）因为f（x）=lnx-ax+1的定义域为（0，+∞），f′(x)＝
1/x−a＝
1−ax
x]，
①当a≤0时，f'（x）＞0，所以f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．
②当a＞0时，令f'（x）＞0，解得0＜x＜
1
a；令f'（x）＜0，解得x＞
1
a．
故当a＞0时，f（x）的单调递增区间是(0，
1
a)，单调递减区间是(
1
a，+∞)．
（2）当a=1时，由（1）知，当x=1时，f（x）=lnx-x+1取得最大值f（1）=0，
所以当x＞0时，lnx-x+1≤0，即当x＞0时，lnx≤x-1．
因为n∈N，n≥2，所以lnn²≤n²-1，所以
lnn2
n2≤
n2−1
n2＝1−
1
n2，即[lnn
n2≤
1/2(1−
1
n2)，
所以
ln2
22+
ln3
32++
lnn
n2≤
1
2[(1−
1
22)+(1−
1
32)++(1−
1
n2)]=
1
2[(n−1)−(
1
22+
1
32++
1
n2)]＜
1
2[(n−1)−(
1
2×3+
1
3×4++
1
n(n+1))]=

点评：
本题考点： 不等式的证明；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查不等式的证明，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用．

1年前

回答问题