在直角坐标系xoy中，点P到两点F1（-3，0），F2（3，0）的距离之和等于4，设P点的轨迹为曲线C，过点M（1，0）

解题思路：（1）易知曲线C为椭圆，由定义可知c=

3

，a=2，从而有b²=1；
（2）由

PF2

＝

F2Q

且椭圆和抛物线都关于x轴对称，知PQ⊥x轴，可得xP＝xQ＝

3

，代入椭圆的方程可求点P、Q坐标，代入抛物线方程可求p值；
（3）分情况讨论：斜率为0及斜率不存在时易求

OA

•

OB

的值；斜率存在且不为0时，设l：x=my+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立

x＝my+1 x2+4y2＝4

，得（m²+4）y²+2my-3=0，利用韦达定理及向量数量积运算可表示

OA

•

OB

为m的表达式，利用函数性质可求范围；

（1）由题意知曲线C为以F₁（-
3，0），F₂（
3，0）为焦点的椭圆，
且c=
3，a=2，∴b²=1，
∴曲线C的方程为：
x2
4+y2＝1；
（2）∵

PF2＝

F2Q且椭圆和抛物线都关于x轴对称，∴PQ⊥x轴，
则xP＝xQ＝
3，代入椭圆的方程得：P(
3，
1
2)，Q(
3，−
1
2)，
把点P坐标代入抛物线方程得：p=

3
24，
∴抛物线C₂的通径为

3
12；
（3）1⁰当l的斜率为0时，则

OA•

OB＝−4；
2⁰当l的斜率存在且不为0时，设l：x=my+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立

x＝my+1
x2+4y2＝4，得（m²+4）y²+2my-3=0，
∴y1+y2＝
−2m
m2+4，y1y2＝
−3
m2+4，


OA•

OB＝x1x2+y1y2
=(my1+1)(my2+1)+y1y2＝m2y1y2+m(y1+y2)+1+y1y2
=(m2+1)y1y2+m(y1+y2)+1＝(m2+1)
−3
m2+4+
−2m2
m2+4+1
=
−3m2−3−2m2+m2+4
m2+4＝
−4m2+1
m2+4＝
−4(m2+4)+17
m2+4
=-4+[17
m2+4∈（-4，
1/4]）；
3⁰当l的斜率不存在时，直线方程为x=1，此时A点、B点坐标为(1，

3
2)，(1，−

3
2)，
故

OA•

OB＝1×1+

3
2×(−

3
2)＝
1
4；
综上可知

OA•

OB的取值范围为[−4，
1
4]．

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评： 本题考查椭圆的定义、方程、性质，考查直线与椭圆的位置关系、向量数量积运算，考查运算求解能力，熟练运用韦达定理是及解决相关问题的基础．