在△ABC中,abc分别是角A,B,C所对边,且4cosC*sin^2*C/2+ COS2C=0若3ab=25-c^2,
在△ABC中,abc分别是角A,B,C所对边,且4cosC*sin^2*C/2+ COS2C=0若3ab=25-c^2,求ABC面积的最大值
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∵4cosC［sin（C/2）］^2＋cos2C＝0,∴2cosC（1－cosC）＋2（cosC）^2－1＝0,
∴2cosC－1＝0,∴cosC＝1/2,∴C是锐角,∴sinC＝√3/2.
显然有：a＞0、b＞0,∴a＋b≧2√（ab）,∴（a＋b）^2≧4ab.
由余弦定理,有：c^2＝a^2＋b^2－2abcosC＝（a＋b）^2－3ab≧4ab－3ab＝ab.
∴3ab＝25－c^2≦25－ab,∴4ab≦25,∴ab≦25/4.
∴S(△ABC)＝（1/2）absinC＝（1/2）×（√3/2）ab≦（√3/4）×（25/4）＝25√3/16.
∴△ABC面积的最大值是25√3/16.
∴2cosC－1＝0,∴cosC＝1/2,∴C是锐角,∴sinC＝√3/2.
显然有：a＞0、b＞0,∴a＋b≧2√（ab）,∴（a＋b）^2≧4ab.
由余弦定理,有：c^2＝a^2＋b^2－2abcosC＝（a＋b）^2－3ab≧4ab－3ab＝ab.
∴3ab＝25－c^2≦25－ab,∴4ab≦25,∴ab≦25/4.
∴S(△ABC)＝（1/2）absinC＝（1/2）×（√3/2）ab≦（√3/4）×（25/4）＝25√3/16.
∴△ABC面积的最大值是25√3/16.
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