（2007•武汉模拟）如图，在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AD中点，

解题思路：（1）先作出二面角E-A₁C₁-D₁的平面角：在A₁D₁上取中点F．连接EF过F作FM⊥A₁C₁于A₁C₁上一点M，连接EM，则∠EMF为二面角E-A₁C₁-D₁的平面角．再在△A₁C₁D₁中，可求；
（2）求四面体B-A₁C₁E的体积，可以转换底面，求V_C1-A1BN，即可；
（3）将E到平面BA₁C₁的距离转化为M点到平面BA₁C₁的距离，再在△MHB中可求；
（4）先利用三垂线定理确定二面角的平面角，再在△BO₁B₁中求解．

（1）在边长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，E为AD中点，在A₁D₁上取中点F．连接EF过F作FM⊥A₁C₁于A₁C₁上一点M，连接EM，则∠EMF为二面角E-A₁C₁-D₁的平面角．
在△A₁C₁D₁中，FM=[1/4]B₁D₁=

2
4，又EF⊥FM，EF=1
∴tan∠EMF=
1


2
4=2
2，从而cos∠EMF=[1/3]．
∴二面角E-A₁C₁-D₁的余弦值为[1/3]
（2）在平面ABCD内，延长BA到N点，使AN=[1/2]，故NE∥A₁C₁，∴NE∥面BA₁C₁
∴V_B-A1C1E=V_E-A1BC1=V_N-A1C1E=V_C1-A1BN
=[1/3]•（[1/2]•[3/2]•1）•1=[1/4]

（3）（文）取DC中点F，连接EF交BD于M点，又E为AD中点，故可知EF∥A₁C₁，则EF∥面BA₁C₁，
因此E到平面BA₁C₁的距离就是M点到平面BA₁C₁的距离．
在对角面BA₁D₁D内，过M作MH⊥O₁B交OB1于H，
∵A₁C₁⊥面BB₁D₁D，则面BD₁⊥面BA₁C₁而MH⊥O₁B，则MH⊥面BA₁C₁，
又∵sin∠DBO₁=

2

点评：
本题考点： 与二面角有关的立体几何综合题；棱柱、棱锥、棱台的体积；点、线、面间的距离计算．

考点点评： 本题的考点是与二面角有关的立体几何综合问题，主要考查二面角的求法，考查几何体的体积，关键是作（找）二面角的平面角．