已知函数f（x）=alnx-3x+[1/x]，其中a为常数，a∈R．

（1）∵f（x）是一个单调递减函数，∴f′（x）=[a/x−3−
1
x2]≤0在（0，+∞）上恒成立；
即a≤3x+
1
x，∵3x+
1
x≥2
3，当x=

3
3时取“=“；
∴a≤2
3
∴a的取值范围是（-∞，2
3]；
（2）f（x）=4lnx−3x+
1
x，f′（x）=[4/x−3−
1
x2＝
−3x2+4x−1
x2]，令f′（x）=0得：x=[1/3]，或1，且e−10＜
1
3；
∴x∈（e^-10，[1/3]）时，f′（x）＜0，x∈（[1/3]，1）时，f′（x）＞0，x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0；
∴x=1时，函数f（x）取得极大值-2＜0，且f（e^-10）=e¹⁰-3e^-10-40＞0
∴在（e^-10，+∞）上函数f（x）只有一个零点，即方程f（x）=0只有一个实数根；
∴方程f（x）=0在（e^-10，+∞）上根的个数为1．

点评：
本题考点： 函数单调性的判断与证明；根的存在性及根的个数判断．

考点点评： 考查函数的单调性和导数符号的关系，极值的概念，注意说明方程f（x）=0在（e-10，+∞）上只有一个实根的方法．

1年前

回答问题