杭州好男儿 幼苗
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(Ⅰ)当a=-2时,f(x)=x2-2lnx,当x∈(1,+∞),f′(x)=
2(x2−1)
x>0,
故函数f(x)在(1,+∞)上是增函数.
(Ⅱ)f′(x)=
2x2+a
x(x>0),当x∈[1,e],2x2+a∈[a+2,a+2e2].
若a≥-2,f'(x)在[1,e]上非负(仅当a=-2,x=1时,f'(x)=0),
故函数f(x)在[1,e]上是增函数,此时[f(x)]min=f(1)=1.
若-2e2<a<-2,当x=
−a
2时,f'(x)=0;当1≤x<
−a
2时,f'(x)<0,
此时f(x)是减函数;当
−a
2<x≤e时,f'(x)>0,此时f(x)是增函数.
故[f(x)]min=f(
−a
2)=[a/2ln(−
a
2)−
a
2]
若a≤-2e2,f'(x)在[1,e]上非正(仅当a=-2e2,x=e时,f'(x)=0),
故函数f(x)在[1,e]上是减函数,此时[f(x)]min=f(e)=a+e2.
综上可知,当a≥-2时,f(x)的最小值为1,相应的x值为1;
当-2e2<a<-2时,f(x)的最小值为[a/2ln(−
a
2)−
a
2],相应的x值为
−a
2;
当a≤-2e2时,f(x)的最小值为a+e2,相应的x值为e
点评:
本题考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.
考点点评: 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性,以及利用导数求闭区间上函数的最值,属于中档题.
1年前
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已知函数f(x)=x2-(1+2a)x+alnx(a为常数).
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已知函数f(x)=x2-(a+2)x+alnx,其中常数a>0.
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已知函数f(x)=x2-(a+2)x+alnx.其中常数a>0.
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已知函数f(x)=x2-(a+2)x+alnx.其中常数a>0
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你能帮帮他们吗