综合实践问题背景某课外兴趣小组在一次折纸活动中，折叠一张带有条格的长方形纸片ABCD（如图1），将点B分别与点A，A1，
综合实践
问题背景
某课外兴趣小组在一次折纸活动中，折叠一张带有条格的长方形纸片ABCD（如图1），将点B分别与点A，A1，A2，…，D重合，然后用笔分别描出每条折痕与对应条格所在直线的交点，用平滑的曲线顺次连接各交点，得到一条曲线．
探索
如图2，在平面直角坐标系xOy中，将长方形纸片ABCD的顶点B与原点O重合，BC边放在x轴的正半轴上，AB=m，AD=n（m≤n），将纸片折叠，MN是折痕，使点B落在边AD上的E处，过点E作EQ⊥BC，垂足为Q，交直线MN于点P，连接OP
（1）求证：四边形OMEP是菱形；
（2）设点P坐标为（x，y），求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（用含m、n的式子表示）
运用
（3）将长方形纸片ABCD如图3所示放置，AB=8，AD=12，将纸片折叠，当点B与点D重合时，折痕与DC的延长线交于点F．试问在这条折叠曲线上是否存在K，使得△KCF的面积是△KOC面积的[5/3]，若存在，写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．
问题背景
某课外兴趣小组在一次折纸活动中，折叠一张带有条格的长方形纸片ABCD（如图1），将点B分别与点A，A1，A2，…，D重合，然后用笔分别描出每条折痕与对应条格所在直线的交点，用平滑的曲线顺次连接各交点，得到一条曲线．
探索
如图2，在平面直角坐标系xOy中，将长方形纸片ABCD的顶点B与原点O重合，BC边放在x轴的正半轴上，AB=m，AD=n（m≤n），将纸片折叠，MN是折痕，使点B落在边AD上的E处，过点E作EQ⊥BC，垂足为Q，交直线MN于点P，连接OP
（1）求证：四边形OMEP是菱形；
（2）设点P坐标为（x，y），求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（用含m、n的式子表示）
运用
（3）将长方形纸片ABCD如图3所示放置，AB=8，AD=12，将纸片折叠，当点B与点D重合时，折痕与DC的延长线交于点F．试问在这条折叠曲线上是否存在K，使得△KCF的面积是△KOC面积的[5/3]，若存在，写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．
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解题思路：（1）如果四边形的四边相等，那么这个四边形是菱形．
（2）根据P点的坐标，可表示出E点的坐标，从而可知道OP的长，用勾股定理表示出解析式．
（3）画出图形，从图上可看出不存在．
（2）根据P点的坐标，可表示出E点的坐标，从而可知道OP的长，用勾股定理表示出解析式．
（3）画出图形，从图上可看出不存在．
（1）∵AB∥EQ，
∴∠OMP=∠EPM，
∵∠EPM=∠OPM，
∴∠OMP=∠OPM，
∴OM=OP，
∵OM=EM，OP=EP，
∴四边形OMEP是菱形．
（2）∵E点的坐标为（x，m），
OP=EP=m-y，
∴（m-y）2=x2+y2．
y=-
x2
2m+[m/2]（0＜x＜
m2+n2
2n）．
（3）根据（2）知，点K的坐标为（x，-
x2
16+4）．
设EC的长为x，DE=BE=12-x，DC=8，
x2+82=（12-x）2
x=[10/3]．
同理：GH=[10/3]，DH=[26/3]，
△ECF∽△DHF，
∴[EC/DH]=[CF/DF]，
即
10
3
26
3=[CF/CF+8]，
解得CF=5，
∴△ECF的面积为：[1/2]CE•CF=[1/2]×[10/3]×5=[25/3]．
△OCK的面积为：[1/2]×12（-
x2
16+4）．
△KCF的面积：[1/2]×[10/3]（-
x2
16+4）+[25/3]．
根据△KCF的面积是△KOC面积得，[5/3]×[1/2]×12（-
点评：
本题考点： 相似三角形的判定与性质；菱形的判定；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．
考点点评： 本题考查了菱形的判定定理，矩形的性质，相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方以及翻折变换的知识．
1年前
9
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