【情境】某课外兴趣小组在一次折纸活动课中．折叠一张带有条格的长方形的纸片ABCD（如图1），将点B分别与点A，A1，A2

【情境】某课外兴趣小组在一次折纸活动课中．折叠一张带有条格的长方形的纸片ABCD（如图1），将点B分别与点A，A₁，A₂，…，D重合，然后用笔分别描出每条折痕与对应条格线所在的直线的交点，用平滑的曲线顺次连结各交点，得到一条曲线．

【探索】
（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，将矩形纸片ABCD的顶点B与原点O重合，BC边放在x轴的正半轴上，AB边放在y轴的正半轴上，AB=m，AD=n，（m≤n）．将纸片折叠，使点B落在边AD上的点E处，过点E作EQ⊥BC于点Q，折痕MN所在直线与直线EQ相交于点P，连结OP．求证：四边形OMEP是菱形；
【归纳】
（2）设点P坐标是（x，y），求y与x的函数关系式（用含m的代数式表示）．
【运用】
（3）将矩形纸片ABCD如图3放置，AB=8，AD=12，将纸片折叠，当点B与点D重合时，折痕与DC的延长线交于点F．试问在这条折叠曲线上是否存在点K，使得△KCF的面积是△KOC面积的[5/3]？若存在，写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．

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lili1229 幼苗

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解题思路：（1）利用翻折变换的性质以及等角对等边得出ME=EP以及OM=EP，进而求出四边形OMEP是平行四边形，再得出四边形OMEP是菱形；
（2）根据菱形的性质得出OP=PE，进而利用勾股定理得出y与x的函数关系；
（3）首先得出CF，CO，KH，KG的长，再利用S_△KCF=[1/2]CF×KG，S_△KOC=[1/2]CO×KH，S△KCF＝

S△KOC，进而得出即可．

（1）证明：如图3，由题意知：OM=ME，∠OMN=∠EMN，
∵OM∥EP，∴∠OMN=∠MPE．
∴∠EMN=∠MPE．
∴ME=EP．∴OM=EP．
∴四边形OMEP是平行四边形．
又∵ME=EP，∴四边形OMEP是菱形；

（2）∵四边形OMEP是菱形，
∴OP=PE，∴OP²=PE²，
∵EQ=OA=m，PQ=y，
∴PE=m-y．∴PE²=（m-y）²=m²-2my+y²．
∵OP²=x²+y²，PE²=m²-2my+y²，
∴x²+y²=m²-2my+y²．
∴y＝−
1
2mx2+
m
2，(0≤x≤n)；

（3）如图3，假设折叠曲线上存在点K满足条件．
当m=8时，y=-[1/16]x²+4．
作KG⊥DC于G，KH⊥OC于H．设K（x，y），
则KG=12-x，KH=y．
当x=12时，y=-5．
∴F（12，-5），
∴CF=5．
∴S_△KCF=[1/2]CF×KG=[1/2]×5×（12-x）
S_△KOC=[1/2]CO×KH=[1/2]×12y，
∵S△KCF＝
5
3S△KOC，
∴[1/2×5•(12−x)=
5
3]×[1/2×12•y，
∴y＝
12−x
4]．
∴K（x，
12−x
4）．
∵点K在y＝−
1
16x2+4上，
∴[12−x/4]=−
1
16x2+4．
化简得：x²-4x-16=0，
解得：x₁=2+2
5，x₂=2-2
5（舍去），
当x1＝2+2

点评：
本题考点：几何变换综合题．

考点点评：此题主要考查了几何变换以及菱形的判定与性质和三角形面积求法等知识，正确表示出S△KCF，S△KOC是解题关键．

1年前

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