已知函数f（x）=[a/x]-1+lnx（a∈R）

已知函数f（x）=[a/x]-1+lnx（a∈R）
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若f（x）≥0恒成立，试确定实数a的取值范围．
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昏睡的乌鸦 春芽

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解题思路：（1）先求出函数的导数，通过讨论a的范围，从而求出单调区间，（2）a≤0时，显然不成立，a＞0时，若f（x）≥0恒成立，由（1）得：f（x）min=f（a）=lna≥0，解出即可．

（1）∵f′（x）=
x−a
x2，
①a＞0时，
令f′（x）＞0，解得：x＞a，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜a，
∴f（x）在（0，a）上递减，在（a，+∞）上递增，
②a≤0时，f′x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上递增；
（2）a≤0时，显然不成立，
a＞0时，若f（x）≥0恒成立，
由（1）得：f（x）min=f（a）=lna≥0，
∴a≥1．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考察了函数的单调性，函数的最值问题，导数的应用，渗透了分类讨论思想，是一道基础题．

1年前

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