（本小题满分12分）如图，在正三棱柱 ABC—A 1 B 1 C 1 中， BB 1 =2, BC =2 ，D为 B 1

方法一：
（Ⅰ）证明：在Rt△ BB ₁ D 和Rt△ B ₁ C ₁ C 中，
由 得
△ BB ₁ D ∽△ B ₁ C ₁ C ，∠ B ₁ DB =∠ B ₁ CC ₁ 。
又 ∠ CB ₁ D +∠ B ₁ CC ₁ =90°
故 ∠ CB ₁ D +∠ B ₁ DB =90°
故 B ₁ C⊥BD.·····················3分
又 正三棱柱 ABC—A ₁ B ₁ C ₁ ，D为B ₁ C ₁ 的中点。
由 A ₁ D ⊥平面 B ₁ C ，
得 A ₁ D ⊥ B ₁ C
又 A ₁ D ∩ B ₁ D = D ，
所以 B ₁ C⊥面A ₁ BD。···················································6分
（Ⅱ）设E为AC的中点，连接BE．B ₁ E。
在正三棱柱 ABC—A ₁ B ₁ C ₁ 中，B ₁ C=B ₁ A，∴ B ₁ E ⊥ AC ， BE ⊥ AC ，
即 ∠BEB ₁ 为二面角B—AC—B ₁ 的平面角·································9分
又
故
所以 二面角的大小为 ······································12分
方法二：
（Ⅰ）证明：设 BC 的中点为 O ，如图建立空间直角坐标系 O—xyz
依题意有
则
由
故
又
所以
故
又 BD ∩ BA ₁ =B
所以 B ₁ C ⊥面 A ₁ BD ，
（Ⅱ）依题意有

设 ⊥平面 ACB ₁ ， ⊥平面 ABC 。
求得
故
所以 二面角的大小为

略