（2012•香洲区模拟）已知数列{an}是各项均不为0的等差数列，公差为d，Sn为其前 n项和，且满足a2n＝
（2012•香洲区模拟）已知数列{an}是各项均不为0的等差数列，公差为d，Sn为其前 n项和，且满足
＝S2n−1，n∈N*．数列{bn}满足bn＝
，Tn为数列{bn}的前n项和．
（1）求数列{an}的通项公式an和数列{bn}的前n项和Tn；
（2）若对任意的n∈N*，不等式λTn＜n+8•(−1)n恒成立，求实数λ的取值范围；
（3）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1，Tm，Tn成等比数列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由．
| a | 2 n |
| 1 |
| an•an+1 |
（1）求数列{an}的通项公式an和数列{bn}的前n项和Tn；
（2）若对任意的n∈N*，不等式λTn＜n+8•(−1)n恒成立，求实数λ的取值范围；
（3）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1，Tm，Tn成等比数列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由．
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解题思路：（1）在
＝S2n−1中，令n=1，n=2，即可求得数列的通项，利用裂项法，可求Tn；
（2）分n为偶数、奇数时，利用分离参数法，通过求函数的最值，即可确定λ的取值范围；
（3）利用等比数列的性质可得(
)2＝
(
)，进一步可得
＝
＞0，由此可得结论．
| a | 2 n |
（2）分n为偶数、奇数时，利用分离参数法，通过求函数的最值，即可确定λ的取值范围；
（3）利用等比数列的性质可得(
| m |
| 2m+1 |
| 1 |
| 3 |
| n |
| 2n+1 |
| 3 |
| n |
| −2m2+4m+1 |
| m2 |
（1）在
a2n＝S2n−1中，令n=1，n=2，
得
a12＝S1
a22＝S3，即
a12＝a1
(a1+d)2＝3a1+3d…（1分）
解得a1=1，d=2，∴an=2n-1
又∵an=2n-1时，Sn＝n2满足
a2n＝S2n−1，∴an=2n-1…（2分）
∵bn＝
1
an•an+1＝
1
2(
1
2n−1−
1
2n+1)，
∴Tn=[1/2]（1-[1/3]+[1/3]-
点评：
本题考点： 数列与不等式的综合；数列的求和．
考点点评： 本题考查等差数列与等比数列的定义与性质、数列求和等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程的思想、分类与整合的思想、转化与化归的思想．
1年前
8
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