高中理数立体几何已知MN是正方体内切球的一条直径,点O在正方体表面上运动,正方体棱长为2 则向量OM 点积 向量ON取值

已知MN是正方体内切球的一条直径,点O在正方体表面上运动,正方体棱长为2 则向量OM 点积向量ON取值范围
由题意,可设M、N分别是内切球在正方体左、右侧面的切点,T为球心,在正方体表面移动点O并观察,可得当O与正方体的某个顶点重合时,向量OM*向量ON达到最大值；当O与正方体某个面的中心重合时,向量OM*向量ON达到最小值．由此得到数积向量OM*向量ON的取值范围．
向量OM*ON=(OT+TM)*(OT+TN)=OT^2+OT*TN+TM*OT+TM*TN
=OT^2+OT*(TN+TM)+TM*TN=OT^2-1
∵正方体棱长为2
当O与正方体的某个顶点重合时,|向量OT｜达到最大值√3,向量OM*向量ON达到最大值2；
当O与正方体某个面的中心重合时,|向量OT｜达到最大值1,向量OM*向量ON达到最小值0
∴向量OM*向量ON的取值范围[0,2]