（本小题满分14分）已知棱长为1的正方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，P在对角线A 1 C 1 上，记二

（1）- （2）P为A ₁ C ₁ 的中点


试题分析：
作PO⊥面ABCD于O，作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F
∵正方体ABCD-A ₁ B ₁ C ₁ D ₁
∴点O在线段AC上，且AO：OC=1:3
∴α=∠PEO，β=∠PFO
EO= ，FO= ，PO=1，PE= ，PF= 2分
cosα= ，sinα= ，cosβ= ， sinβ=
cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ= =- 4分
（2）（8分）
设A ₁ P=kA ₁ C ₁ ，k∈[0,1] 5分
由第（1）题可知α=∠PEO，β=∠PFO
EO=k,FO=1-k,PO=1,PE= ,PF=
cosα= ，sinα= ，cosβ= ，
sinβ= 7分
当k=0或1时，即点P与A ₁ 或C ₁ 重合时，其中一个角为 ，另一个角为 ，
此时α+β= ，tan（α+β）= -1 8分
∴当k≠0，且k≠1时，tanα= ，tanβ=
∴tan（α+β）
= 11分
∵k∈（0,1）∴ ∴tan（α+β）∈
∵ ∴
∴tan（α+β）= 时，α+β有最小值，此时k= 时，即点P为A ₁ C ₁ 的中点。 14分
点评：本题有一定难度，多章节知识的综合