动点几何求助如图正方形ABCD边长为1点M,N分别在BC,CD上

动点几何求助如图正方形ABCD边长为1点M,N分别在BC,CD上
如图正方形ABCD边长为1点M,N分别在BC,CD上,且△CMN周长为2.,则△MAN的面积最小值为、

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设CM=x,CN=y,MN=z
x^2+y^2=z^2
∵x+y+z=2,则x=2-y-z
于是（2-y-z）^2+y^2=z^2
整理得2y^2+（2z-4）y+（4-4z）=0
∴△=4（z-2）^2-32（1-z）≥0
即（z+2+2√2）（z+2-2√2）≥0
又∵z＞0
∴z≥2√2-2当且仅当x=y=2-√2时等号成立
此时S△AMN=S△AML=1/2ML•AB=1/2z
因此,当z=2√2 -2,x=y=2-√2
时,S△AMN取到最小值为√2 -1．

1年前追问

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∴△=4（z-2）^2-32（1-z）≥0 即（z+2+2√2）（z+2-2√2）≥0 问下这一步是怎么出来的，

举报 caits

△=4（z-2）^2-32（1-z）=4(z^2-4z+4)-32+32z=4z^2-16z+16-32+32z=4z^2+16z-16≥0 即z^2+4z-4≥0→z^2+4z+4-8=(z+2)^2-8≥0即（z+2-2√2）（z+2+2√2）≥0

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