已知函数f(x)=x+1/x,①判断并证明f(x)分别在x∈（0,1）和x∈（1,正无穷大）上的单调性；
已知函数f(x)=x+1/x,①判断并证明f(x)分别在x∈（0,1）和x∈（1,正无穷大）上的单调性；
②当x∈[½,a]时,f(x)∈[2,5/2],求a的取值范围.
（第一问已求出,在x∈（0,1）上是减函数,在x∈（1,正无穷大）上是增函数,如有错误请指出）谢谢!
②当x∈[½,a]时,f(x)∈[2,5/2],求a的取值范围.
（第一问已求出,在x∈（0,1）上是减函数,在x∈（1,正无穷大）上是增函数,如有错误请指出）谢谢!
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(1)f(x)在区间（0,1）上单调递减；在区间（1,﹢∞）上的单调递增
证明：
(1)设0＜x1＜x2＜1
∵f(x1)－f(x2)＝x1＋1/x1－x2－1/x2＝(x1－x2)＋(x2－x1)/(x1x2)＝(x1－x2)(x1x2－1)/(x1x2)
∵0＜x1＜x2＜1 ∴x1－x2＜0 0＜x1x2＜1 x1x2－1＜0
∴(x1－x2)(x1x2－1)/(x1x2)＞0 ∴f(x1)－f(x2)＞0 ∴f(x1)＞f(x2)
∴f(x)在区间（0,1）上单调递减
(2)设x2＞x1＞1
∵f(x1)－f(x2)＝x1＋1/x1－x2－1/x2＝(x1－x2)＋(x2－x1)/(x1x2)＝(x1－x2)(x1x2－1)/(x1x2)
∵x2＞x1＞1 ∴x1－x2＜0 x1x2＞1 x1x2－1＞0
∴(x1－x2)(x1x2－1)/(x1x2)＜0 ∴f(x1)－f(x2)＜0 ∴f(x1)＜f(x2)
∴f(x)在区间（1,﹢∞）上的单调递增
(2)因为当x∈[½,a]时,f(x)∈[2,5/2],且f(x)在区间（1/2,1）上单调递减,在区间（1,﹢∞）上的单调递增
2≤f(a)≤5/2,即2≤a+1/a≤2,解得1≤a≤2
证明：
(1)设0＜x1＜x2＜1
∵f(x1)－f(x2)＝x1＋1/x1－x2－1/x2＝(x1－x2)＋(x2－x1)/(x1x2)＝(x1－x2)(x1x2－1)/(x1x2)
∵0＜x1＜x2＜1 ∴x1－x2＜0 0＜x1x2＜1 x1x2－1＜0
∴(x1－x2)(x1x2－1)/(x1x2)＞0 ∴f(x1)－f(x2)＞0 ∴f(x1)＞f(x2)
∴f(x)在区间（0,1）上单调递减
(2)设x2＞x1＞1
∵f(x1)－f(x2)＝x1＋1/x1－x2－1/x2＝(x1－x2)＋(x2－x1)/(x1x2)＝(x1－x2)(x1x2－1)/(x1x2)
∵x2＞x1＞1 ∴x1－x2＜0 x1x2＞1 x1x2－1＞0
∴(x1－x2)(x1x2－1)/(x1x2)＜0 ∴f(x1)－f(x2)＜0 ∴f(x1)＜f(x2)
∴f(x)在区间（1,﹢∞）上的单调递增
(2)因为当x∈[½,a]时,f(x)∈[2,5/2],且f(x)在区间（1/2,1）上单调递减,在区间（1,﹢∞）上的单调递增
2≤f(a)≤5/2,即2≤a+1/a≤2,解得1≤a≤2
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