x^2 /4 -y^2 =1 上任意一点P在两渐近线上射影 为M N求向量PM点积 PN

设 P（a,b）是双曲线上任一点,
双曲线渐近线方程为 y=±x/2 ,
因此 PM、PN 的方程为 y=±2(x-a)+b ,
联立 y=x/2 ,y= -2(x-a)+b 可解得 M（(4a+2b)/5 ,(2a+b)/5）,
联立 y= -x/2 ,y=2(x-a)+b 可解得 N（(4a-2b)/5 ,(-2a+b)/5）,
因此 PM*PN=(OM-OP)*(ON-OP)
=OM*ON-OP*(OM+ON)+OP^2
=(16a^2-4b^2)/25+(b^2-4a^2)/25-8a^2/5-2b^2/5+a^2+b^2
= -3a^2/25+12b^2/25
= -12/25*(a^2/4-b^2)
= -12/25 .