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由条件a_n>0,可用“调和-几何-算术平均不等式”
n/sum(1/a_k)
n/sum(1/a_k)
1年前 追问
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因正数的极限是非负数，所以a>=0. 记X=n/sum_{k=1}^{n}(1/a_k). (1) 如果a=0，因每个a_k>0，显然X>=0，这正是我们想要证明的. 故，下面可以假设a>0。 按定义，只须证明: 任意eta满足0N, 有X>a-eta. (*) 因lim a_n=a，所以lim(1/a_n)=1/a. 按定义，对于epsilon=eta/3/a/(a-eta)，(2) 存在L，任意n>L，1/a_n<1/a+epsilon. (3) 取定这个L，并记M=sum_{k=1}^{L}(1/a_k). (4) 因为M和epsilon都是正常数，所以存在N>L，使得任意n>N, M/nN时，由(1)(4)我们有 X = n/(M+sum_{k=L+1}^n (1/a_k)). 由(3)，上式可以推出 X > n / (M+(n-L)(1/a+epsilon)). 因1/a+epsilon>0，而0 n / (M+n(1/a+epsilon)) = 1 / (M/n + epsilon + 1/a). 由(5)，上式可以推出 X > 1 / (2epsilon + 1/a) = a - 2a*epsilon/(2*epsilon+1/a). 由(2), 上式可以推出 X > a-eta. 这就证明了(*)。
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1年前1个回答
你能帮帮他们吗