2道高数解微分方程题 1.{xy'+(1-x)y=e^2xy│x=ln2 =02.y"-3y'+2y=xe^3x

1.先解齐线性方程 xy'+(1-x)y=0的通解,
得到 y=ce^(x-lnx),(c为 任意常数)……①
其次利用常数变易法求非齐线性方程 xy'+(1-x)y=e^2x 的通解,把c看成是
c(x),微分①后将其代入原方程得到xe^(x-lnx)c(x)'=e^2x
所以c(x)=e^x+c1,(c1为任意常数)
从而原方程的通解为 y=(e^x+c1)e^(x-lnx)=[(e^x+c1)e^x]/x,
把 y│x=ln2 =0代入求得 c1=-2
因此所求的解为 y=[(e^x-2)e^x]/x=(e^2x)/x-(2e^x)/x
2.对应齐次方程的特征方程为λ²-3λ+2=0 得λ=1或λ=2
对应齐次方程的通解为 y=c1e^x+c2e^x (c1,c2为任意常数)
由于 f(t)=xe^3x
故有特解形如 Axe^3x ,将其代入原方程得到A=1/2
于是原方程的通解为y=c1e^x+c2e^x +(xe^3x)/2 (c1,c2为任意常数)

可以用MATLAB求解，也可以用数学方法求解，第一题为一阶线性微分方程，第二题为 二阶常系数线性微分方程

1
dsolve('x*Dy+(1-x)*y=exp(2*x)','y(log(2))=0','x')

ans =

1/x*exp(2*x)-2/x*exp(x)
2
>> dsolve('D2y-3*Dy+2*y=x*exp(3*x)')

ans =

1/2*x*exp(3*x)+C1*exp(t)+C2*exp(2*t)