在三角形ABC中,AB=2,角BAC=120度,AD是BC边上的高,且CD/BD=AC-根号3,求边AC的长.
在三角形ABC中,AB=2,角BAC=120度,AD是BC边上的高,且CD/BD=AC-根号3,求边AC的长.
高中三角函数题
我可以把答案凑出来，就是角B=45度，然后验证一下是对的，
高中三角函数题
我可以把答案凑出来，就是角B=45度，然后验证一下是对的，
赞 一嘛二嘛 幼苗
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直角三角形ABD中,BD=AB*cosB=2cosB
AD=ABsinB=2sinB
直角三角形ACD中,CD=AC*cosC
AD=ACsinC
所以：2sinB=ACsinC (1)
CD/BD=ACcosC/(2cosB)=AC-√3,ACcosC=2ACcosB-2√3cosB (2)
(1)两边平方：
AC^2(sinC)^2=4(sinB)^2
(2)两边平方：
AC^2(cosC)^2=(2AC-2√3)^2(cosB)^2
相加：
AC^2=4(sinB)^2+(2AC-2√3)^2(cosB)^2
又因为：∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-120°=60°
所以∠C=60°-∠B,代入（1）得：
2sinB=ACsin(60°-B)=ACsin60°cosB-ACcos60°sinB
=AC*√3/2*cosB-AC*(1/2)sinB
(4+AC)sinB=√3ACcosB
tanB=√3AC/(4+AC)
因为AC^2=4(sinB)^2+(2AC-2√3)^2(cosB)^2,即
[(sinB)^2+(cosB)^2]AC^2=4(sinB)^2+(2AC-2√3)^2(cosB)^2,等式两边除以（cosB)^2
所以：
[1+(tanB)^2]AC^2=4(tanB)^2+(2AC-2√3)^2
(AC^2-4)(tanB)^2=(2AC-2√3)^2-AC^2
=(AC-2√3)(3AC-2√3)
所以：(AC^2-4)*3*AC^2/(4+AC)^2=(AC-2√3)(3AC-2√3)
下面的你自己化简,可以求得AC
AD=ABsinB=2sinB
直角三角形ACD中,CD=AC*cosC
AD=ACsinC
所以：2sinB=ACsinC (1)
CD/BD=ACcosC/(2cosB)=AC-√3,ACcosC=2ACcosB-2√3cosB (2)
(1)两边平方：
AC^2(sinC)^2=4(sinB)^2
(2)两边平方：
AC^2(cosC)^2=(2AC-2√3)^2(cosB)^2
相加：
AC^2=4(sinB)^2+(2AC-2√3)^2(cosB)^2
又因为：∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-120°=60°
所以∠C=60°-∠B,代入（1）得：
2sinB=ACsin(60°-B)=ACsin60°cosB-ACcos60°sinB
=AC*√3/2*cosB-AC*(1/2)sinB
(4+AC)sinB=√3ACcosB
tanB=√3AC/(4+AC)
因为AC^2=4(sinB)^2+(2AC-2√3)^2(cosB)^2,即
[(sinB)^2+(cosB)^2]AC^2=4(sinB)^2+(2AC-2√3)^2(cosB)^2,等式两边除以（cosB)^2
所以：
[1+(tanB)^2]AC^2=4(tanB)^2+(2AC-2√3)^2
(AC^2-4)(tanB)^2=(2AC-2√3)^2-AC^2
=(AC-2√3)(3AC-2√3)
所以：(AC^2-4)*3*AC^2/(4+AC)^2=(AC-2√3)(3AC-2√3)
下面的你自己化简,可以求得AC
1年前 追问
3
我给的算式是直接求AC的，tanB只是一个过渡的，换种方式吧，上式平方不要了，有（2）知： ACcosC=2ACcosB-2√3cosB 将∠C=60°-∠B，代入 ACcos60cosB+ACsin60sinB=(2AC-2√3)cosB ACcosB/2+√3ACsinB/2=(2AC-2√3)cosB √3ACsinB=(3AC-4√3)cosB tanB=(3AC-4√3)/(√3AC) （上式求得：tanB=√3AC/(4+AC)） √3AC/(4+AC)=(3AC-4√3)/(√3AC) 3AC^2=(4+AC)(3AC-4√3)=12AC-16√3+3AC^2-4√3AC 所以：（12-4√3）AC=16√3 AC=4√3/(3-√3)=4√3*(3+√3)/6=(12√3+12)/6=2√3+2
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