nn446796750 春芽
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(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(-1,+∞),
函数f(x)的导数f'(x)=-2x+[1/x+1],
令f'(x)>0则[1/x+1]>2x,
解得
-1-
3
2<x<
-1+
3
2,
令f'(x)<0则[1/x+1<2x,
解得x>
-1+
3
2]或x<
-1-
3
2,
∵x>-1,
∴f(x)的单调增区间为(-1,
3-1
2),
单调减区间为(
3-1
2,+∞);
(Ⅱ)不等式f(x)>[kx/x+1]-x2
即1-x2+ln(x+1)>[kx/x+1-x2,即1+ln(x+1)>
kx
x+1],
即(x+1)[1+ln(x+1)]>kx(k∈N*)在(0,+∞)上恒成立,
令g(x)=(x+1))[1+ln(x+1)]-kx,则
g'(x)=2+ln(x+1)-k,
∵x>0,∴2+ln(x+1)>2,
若k≤2,则g'(x)>0,即g(x)在(0,+∞)上递增,
∴g(x)>g(0)即g(x)>1>0,
∴(x+1)[1+ln(x+1)]>kx(k∈N*)在(0,+∞)上恒成立;
若k>2则g(x)不为单调函数.
故k的最大值为2.
点评:
本题考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.
考点点评: 本题主要考查运用导数求函数的单调性,求解时应注意函数的定义域,同时考查含参不等式恒成立问题,通常运用参数分离,转化为求函数的最值,但求最值较难,本题转化为大于0的不等式,构造函数g(x),运用导数说明g(x)>0恒成立,从而得到结论.这种思想方法要掌握.
1年前
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